Wie man quadratische Gleichungen löst

By Math Questions Hub Team Aktualisiert 7. September 2026

Geschrieben für Algebra-Schülerinnen und -Schüler sowie alle, die sich vor einer standardisierten Prüfung mit quadratischen Gleichungen auffrischen wollen.

Quick answer

Eine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 lässt sich durch Faktorisieren lösen, wenn die Zahlen mitspielen, oder mit der Mitternachtsformel, x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, die immer funktioniert. Die meisten quadratischen Gleichungen haben zwei, eine, oder keine reelle Lösung, je nach Diskriminante.

Eine quadratische Gleichung lässt sich in der Form ax² + bx + c = 0 schreiben, wobei a, b und c Zahlen sind und a niemals 0 ist. Beispiele: x² - 5x + 6 = 0,2x² + 3x - 2 = 0, und x² - 9 = 0. Anders als eine lineare Gleichung, die eine Lösung hat, hat eine quadratische Gleichung normalerweise zwei.

Methode 1: Faktorisieren

Beim Faktorisieren schreibt man ax² + bx + c als Produkt zweier Binome um und nutzt dann den Satz vom Nullprodukt.

Gelöstes Beispiel 1: a = 1

Löse x² - 5x + 6 = 0.

  1. Suche zwei Zahlen, die 6 ergeben und sich zu -5 addieren: -2 und -3.
  2. Faktorisierte Form: (x - 2)(x - 3) = 0.
  3. x = 2 oder x = 3.
  4. Prüfe, dass beide die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

Gelöstes Beispiel 2: a ist nicht 1

Löse 2x² + 3x - 2 = 0.

  1. Multipliziere a und c: 2 × (-2) = -4. Suche zwei Zahlen, die -4 ergeben und sich zu 3 addieren: 4 und -1.
  2. Teile den mittleren Term auf: 2x² + 4x - x - 2 = 0.
  3. Gruppiere und faktorisiere: (2x - 1)(x + 2) = 0.
  4. x = 1/2 oder x = -2.

Gelöstes Beispiel 3: Differenz von Quadraten

Löse x² - 9 = 0.

  1. Erkenne x² - 3², das sich zu (x - 3)(x + 3) faktorisieren lässt.
  2. x = 3 oder x = -3.

Methode 2: die Mitternachtsformel

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Gelöstes Beispiel: mit der Formel lösen

Löse x² + 2x - 8 = 0.

  1. a = 1, b = 2, c = -8.
  2. x = (-2 ± √(4 + 32)) / 2 = (-2 ± √36) / 2.
  3. x = (-2 + 6)/2 = 2, oder x = (-2 - 6)/2 = -4.

Gelöstes Beispiel: irrationale Lösungen

Löse x² - 4x - 1 = 0.

  1. a = 1, b = -4, c = -1.
  2. x = (4 ± √20) / 2 = 2 ± √5.

Die Diskriminante lesen

DiskriminanteBedeutung
PositivZwei verschiedene reelle Lösungen
NullEine reelle Lösung
NegativKeine reelle Lösung

Beispiel: negative Diskriminante

Löse x² + x + 1 = 0.

  1. Diskriminante: 1 - 4 = -3.
  2. Keine reelle Lösung.

Häufige Fehler

  • Vergessen, die Gleichung zuerst gleich null zu setzen.
  • Das negative Vorzeichen von b in der Formel verlieren.
  • Nur eine der beiden Lösungen behalten.
  • Die Quadratwurzel falsch vereinfachen.
  • Versuchen, etwas zu faktorisieren, das sich nicht mit ganzen Zahlen faktorisieren lässt.

Selbst üben

Probiere den Mathe-Löser, oder geh zuÜbungen zu quadratischen Gleichungen.

Key takeaways

  • Eine quadratische Gleichung lässt sich als ax² + bx + c = 0 schreiben, wobei a nicht 0 ist.
  • Faktorisieren ist die schnellste Methode, wenn die Gleichung sich mit ganzen Zahlen sauber faktorisieren lässt.
  • Die Mitternachtsformel, x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, löst jede quadratische Gleichung, auch solche, die sich nicht gut faktorisieren lassen.
  • Die Diskriminante (b² - 4ac) zeigt, wie viele reelle Lösungen zu erwarten sind, noch bevor man fertig gelöst hat.
  • Prüfe mögliche Lösungen immer durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.

Frequently asked questions

Was ist die Mitternachtsformel?

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Sie löst jede Gleichung ax² + bx + c = 0, indem man die Werte von a, b und c direkt einsetzt.

Woher weiß ich, ob ich faktorisieren oder die Formel verwenden soll?

Versuche zuerst zu faktorisieren, wenn a, b und c kleine ganze Zahlen sind. Findest du nach ein paar Versuchen keine zwei Zahlen, die a×c ergeben und sich zu b addieren, wechsle zur Formel.

Was sagt die Diskriminante aus?

Sie ist der Teil unter der Wurzel in der Formel, b² - 4ac. Positiv: zwei verschiedene reelle Lösungen. Null: eine reelle Lösung. Negativ: keine reelle Lösung.

Kann eine quadratische Gleichung keine Lösung haben?

Sie kann keine reelle Lösung haben, wenn die Diskriminante negativ ist, da man dann die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsste.

Was, wenn es keinen c-Term gibt, wie bei x² - 5x = 0?

Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus. x² - 5x = 0 faktorisiert zu x(x - 5) = 0, also x = 0 oder x = 5.

Warum haben quadratische Gleichungen oft zwei Antworten?

Eine quadratische Gleichung entspricht grafisch einer Parabel, die die x-Achse an bis zu zwei Punkten schneiden kann.