द्विघात समीकरण कैसे हल करें

By Math Questions Hub Team अपडेट किया गया 7 सितंबर 2026

बीजगणित के छात्रों के लिए, और मानकीकृत परीक्षा से पहले द्विघात समीकरणों की समीक्षा करने वालों के लिए लिखा गया है।

Quick answer

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 को संख्याएं सहयोग करें तो गुणनखंडन से, या हमेशा काम करने वाले द्विघात सूत्र x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a से हल किया जा सकता है। अधिकांश द्विघात समीकरणों के विविक्तकर के आधार पर दो, एक, या कोई वास्तविक हल नहीं होता।

एक द्विघात समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जहां a, b, और c संख्याएं हैं और a कभी शून्य नहीं होता। उदाहरण: x² - 5x + 6 = 0,2x² + 3x - 2 = 0, और x² - 9 = 0। एक रैखिक समीकरण के विपरीत, जिसका एक हल होता है, द्विघात समीकरण के आमतौर पर दो हल होते हैं।

विधि 1: गुणनखंडन

गुणनखंडन ax² + bx + c को दो द्विपदों के गुणनफल के रूप में फिर से लिखता है, फिर शून्य गुणनफल गुण का उपयोग करता है।

हल किया गया उदाहरण 1: a = 1

x² - 5x + 6 = 0 हल करें।

दो संख्याएं खोजें जो 6 से गुणा हों और -5 तक जोड़ें: -2 और -3।
गुणनखंडित रूप: (x - 2)(x - 3) = 0।
x = 2 या x = 3।
जांचें कि दोनों मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

हल किया गया उदाहरण 2: a 1 नहीं है

2x² + 3x - 2 = 0 हल करें।

a और c गुणा करें: 2 × (-2) = -4। दो संख्याएं खोजें जो -4 से गुणा हों और 3 तक जोड़ें: 4 और -1।
मध्य पद को विभाजित करें: 2x² + 4x - x - 2 = 0।
समूहबद्ध करें और गुणनखंडित करें: (2x - 1)(x + 2) = 0।
x = 1/2 या x = -2।

हल किया गया उदाहरण 3: वर्गों का अंतर

x² - 9 = 0 हल करें।

x² - 3² को पहचानें, जो (x - 3)(x + 3) में गुणनखंडित होता है।
x = 3 या x = -3।

विधि 2: द्विघात सूत्र

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

हल किया गया उदाहरण: सूत्र से हल करना

x² + 2x - 8 = 0 हल करें।

a = 1, b = 2, c = -8।
x = (-2 ± √(4 + 32)) / 2 = (-2 ± √36) / 2।
x = (-2 + 6)/2 = 2, या x = (-2 - 6)/2 = -4।

हल किया गया उदाहरण: अपरिमेय हल

x² - 4x - 1 = 0 हल करें।

a = 1, b = -4, c = -1।
x = (4 ± √20) / 2 = 2 ± √5।

विविक्तकर पढ़ना

विविक्तकर	अर्थ
धनात्मक	दो अलग वास्तविक हल
शून्य	एक वास्तविक हल
ऋणात्मक	कोई वास्तविक हल नहीं

उदाहरण: ऋणात्मक विविक्तकर

x² + x + 1 = 0 हल करें।

विविक्तकर: 1 - 4 = -3।
कोई वास्तविक हल नहीं।

सामान्य गलतियां

पहले शून्य के बराबर करना भूल जाना।
सूत्र में b का ऋणात्मक चिह्न खो देना।
दो हलों में से केवल एक रखना।
वर्गमूल को गलत तरीके से सरल करना।
ऐसी चीज़ को गुणनखंडित करने की कोशिश करना जो पूर्णांकों से गुणनखंडित नहीं होती।

खुद अभ्यास करें

मैथ सॉल्वर आज़माएं, या द्विघात समीकरण अभ्यास पर जाएं।

Key takeaways

एक द्विघात समीकरण कोई भी समीकरण है जिसे ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जहां a शून्य नहीं है।
जब समीकरण पूर्णांकों के साथ साफ-सुथरा गुणनखंडित होता है, तो गुणनखंडन सबसे तेज़ तरीका है।
द्विघात सूत्र, x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, हर द्विघात समीकरण को हल करता है, उन्हें भी जो अच्छी तरह गुणनखंडित नहीं होते।
विविक्तकर (b² - 4ac) बताता है कि हल करने से पहले कितने वास्तविक हल की उम्मीद करनी चाहिए।
हमेशा संभावित हलों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके जांचें।

Frequently asked questions

द्विघात सूत्र क्या है?

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a। यह a, b, और c के मान सीधे प्रतिस्थापित करके ax² + bx + c = 0 के रूप के किसी भी समीकरण को हल करता है।

मुझे कैसे पता चले कि गुणनखंडन करना है या सूत्र इस्तेमाल करना है?

यदि a, b, और c छोटे पूर्णांक हैं तो पहले गुणनखंडन आज़माएं। कुछ प्रयासों के बाद भी दो संख्याएं न मिलें जो a×c से गुणा हों और b तक जोड़ें, तो सूत्र पर स्विच करें।

विविक्तकर क्या बताता है?

यह सूत्र में वर्गमूल के नीचे का हिस्सा है, b² - 4ac। धनात्मक: दो अलग वास्तविक हल। शून्य: एक वास्तविक हल। ऋणात्मक: कोई वास्तविक हल नहीं।

क्या द्विघात समीकरण का कोई हल न हो सकता है?

विविक्तकर ऋणात्मक होने पर वास्तविक हल नहीं होता, क्योंकि तब आप ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल ले रहे होंगे।

अगर c पद न हो, जैसे x² - 5x = 0 में?

महत्तम समापवर्तक बाहर निकालें। x² - 5x = 0, x(x - 5) = 0 में गुणनखंडित होता है, जिससे x = 0 या x = 5 मिलता है।

द्विघात समीकरणों के आमतौर पर दो उत्तर क्यों होते हैं?

द्विघात समीकरण एक परवलय के रूप में आलेखित होता है, जो x-अक्ष को अधिकतम दो बिंदुओं पर काट सकता है।