Come risolvere le equazioni lineari

Un'equazione lineare ha una variabile, e quella variabile non è mai elevata a potenza, mai dentro una radice quadrata, e mai al denominatore. Questo è ciò che la rende "lineare": se disegnassi i due lati come funzioni, sarebbero rette. Esempi: 3x + 7 = 22,5 - 2x = -1, 4(x + 3) = 20. L'obiettivo è sempre lo stesso: isolare x da un lato del segno di uguale, con coefficiente 1.

L'idea centrale: l'equilibrio

Un'equazione afferma che due cose sono uguali. Finché fai esattamente la stessa operazione su entrambi i lati, questa affermazione resta vera. Aggiungi 5 a sinistra, aggiungi 5 a destra, e l'equazione resta in equilibrio. Questa è l'unica regola di cui hai davvero bisogno.

Pensa al segno di uguale come al centro di una bilancia. Ciò che aggiungi o togli da un piatto, devi aggiungerlo o toglierlo anche dall'altro, altrimenti la bilancia si sbilancia. Operare solo su un lato è l'errore più comune quando si risolvono equazioni lineari.

La forma standard in due passaggi

La maggior parte delle equazioni lineari ha la forma ax + b = c. Risolverle richiede sempre due mosse, in quest'ordine:

1. Sposta la costante (b) dall'altro lato, sommandola o sottraendola su entrambi i lati.
2. Dividi entrambi i lati per il coefficiente (a) per isolare x.

Esempio risolto 1: equazione semplice in due passaggi

Risolvi 3x + 7 = 22.

1. Sottrai 7 da entrambi i lati: 3x = 15.
2. Dividi per 3: x = 5.
3. Verifica: 3(5) + 7 = 22. Corretto.

Esempio risolto 2: coefficiente negativo

Risolvi -2x + 4 = 10.

1. Sottrai 4 da entrambi i lati: -2x = 6.
2. Dividi per -2: x = -3.
3. Verifica: -2(-3) + 4 = 10. Corretto.

Quando la variabile è su entrambi i lati

Alcune equazioni hanno x su entrambi i lati, come 5x - 3 = 2x + 9. Il passaggio in più consiste nel raggruppare tutti i termini con x da un lato prima di fare altro.

1. Sottrai 2x da entrambi i lati: 3x - 3 = 9.
2. Aggiungi 3: 3x = 12.
3. Dividi per 3: x = 4.

Quando c'è un termine da distribuire

Un'equazione come 4(x + 3) = 20 ha una parentesi che moltiplica un'intera espressione. Distribuisci prima:

1. Distribuisci il 4: 4x + 12 = 20.
2. Sottrai 12: 4x = 8.
3. Dividi per 4: x = 2.

Equazioni con le frazioni

Quando sono coinvolte più frazioni, di solito è più veloce eliminarle tutte insieme moltiplicando ogni termine per il minimo comune denominatore. Risolvix/2 + 1/3 = x/6 + 2:

1. Il minimo comune denominatore di 2, 3 e 6 è 6.
2. Moltiplica ogni termine per 6: 3x + 2 = x + 12.
3. Sottrai x: 2x + 2 = 12.
4. Sottrai 2 e dividi per 2: x = 5.

Nessuna soluzione e infinite soluzioni

Non tutte le equazioni lineari hanno esattamente una risposta. Risolvi2x + 3 = 2x + 7: sottraendo 2x da entrambi i lati resta 3 = 7, che è falso per qualsiasi x. Questa equazione non ha soluzione. Ora risolvi2x + 3 = 2x + 3: resta 3 = 3, sempre vero, quindi ci sono infinite soluzioni.

Errori comuni

• Operare solo su un lato. Ciò che fai per isolare la variabile, fallo su entrambi i lati.
• Fermarsi un passaggio troppo presto. Dopo aver spostato la costante, è facile dimenticare di dividere.
• Distribuire solo al primo termine. In 4(x + 3), sia x che 3 vanno moltiplicati per 4.
• Sbagliare il segno spostando un termine. Spostare -3 dall'altro lato significa aggiungere 3, non sottrarlo.
• Saltare la verifica. Sostituire la risposta richiede pochi secondi e individua quasi tutti gli errori.

Esercitati

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