Comment résoudre des équations linéaires

Une équation linéaire a une seule variable, jamais élevée à une puissance, jamais sous une racine carrée, jamais au dénominateur. C'est ce qui la rend "linéaire" : si on traçait les deux côtés comme des fonctions, ce seraient des droites. Exemples : 3x + 7 = 22,5 - 2x = -1, 4(x + 3) = 20. L'objectif est toujours le même : isoler x d'un côté du signe égal, avec un coefficient de 1.

L'idée centrale : l'équilibre

Une équation affirme que deux choses sont égales. Tant que vous faites exactement la même opération des deux côtés, cette affirmation reste vraie. Ajoutez 5 à gauche, ajoutez 5 à droite, et l'équation reste équilibrée. C'est la seule règle réellement nécessaire.

Imaginez le signe égal comme le centre d'une balance. Ce que vous ajoutez ou enlevez d'un plateau, il faut l'ajouter ou l'enlever de l'autre aussi, sinon la balance penche. N'opérer que d'un seul côté est l'erreur la plus fréquente en résolvant des équations linéaires.

La forme standard en deux étapes

La plupart des équations linéaires ressemblent à ax + b = c. Les résoudre demande toujours deux mouvements, dans cet ordre :

1. Déplacez la constante (b) de l'autre côté, en l'ajoutant ou la soustrayant des deux côtés.
2. Divisez les deux côtés par le coefficient (a) pour isoler x.

Exemple résolu 1 : équation en deux étapes

Résolvez 3x + 7 = 22.

1. Soustrayez 7 des deux côtés : 3x = 15.
2. Divisez par 3 : x = 5.
3. Vérification : 3(5) + 7 = 22. Correct.

Exemple résolu 2 : coefficient négatif

Résolvez -2x + 4 = 10.

1. Soustrayez 4 des deux côtés : -2x = 6.
2. Divisez par -2 : x = -3.
3. Vérification : -2(-3) + 4 = 10. Correct.

Quand la variable est des deux côtés

Certaines équations ont x des deux côtés, comme 5x - 3 = 2x + 9. L'étape supplémentaire consiste à rassembler tous les termes en x d'un seul côté avant toute chose.

1. Soustrayez 2x des deux côtés : 3x - 3 = 9.
2. Ajoutez 3 : 3x = 12.
3. Divisez par 3 : x = 4.

Quand un terme est distribué

Une équation comme 4(x + 3) = 20 a une parenthèse qui multiplie toute une expression. Distribuez d'abord :

1. Distribuez le 4 : 4x + 12 = 20.
2. Soustrayez 12 : 4x = 8.
3. Divisez par 4 : x = 2.

Équations avec des fractions

Quand plusieurs fractions sont impliquées, il est souvent plus rapide de les éliminer toutes d'un coup en multipliant chaque terme par le plus petit dénominateur commun. Résolvezx/2 + 1/3 = x/6 + 2 :

1. Le plus petit dénominateur commun de 2, 3 et 6 est 6.
2. Multipliez chaque terme par 6 : 3x + 2 = x + 12.
3. Soustrayez x : 2x + 2 = 12.
4. Soustrayez 2 et divisez par 2 : x = 5.

Aucune solution et infinité de solutions

Toute équation linéaire n'a pas forcément une seule réponse. Résolvez2x + 3 = 2x + 7 : en soustrayant 2x des deux côtés, il reste 3 = 7, ce qui est faux quelle que soit la valeur de x. Cette équation n'a aucune solution. Résolvez maintenant 2x + 3 = 2x + 3 : il reste 3 = 3, toujours vrai, donc une infinité de solutions.

Erreurs courantes

• N'opérer que d'un seul côté. Faites la même chose des deux côtés.
• S'arrêter une étape trop tôt. Après avoir déplacé la constante, on oublie parfois de diviser.
• Distribuer seulement au premier terme. Dans 4(x + 3), x et 3 sont tous deux multipliés par 4.
• Se tromper de signe en déplaçant un terme. Déplacer -3 de l'autre côté revient à ajouter 3, pas à le soustraire.
• Sauter la vérification. Substituer la réponse prend quelques secondes et détecte presque toutes les erreurs.

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