Wie man lineare Gleichungen löst

By Math Questions Hub Team Aktualisiert 7. September 2026

Geschrieben für Schülerinnen und Schüler, die Algebra lernen, sowie für Eltern oder Nachhilfelehrer, die eine klare Auffrischung der Methode brauchen.

Quick answer

Um eine lineare Gleichung wie 3x + 7 = 22 zu lösen, verschiebe jede Konstante auf die andere Seite des Gleichheitszeichens und teile dann durch den Koeffizienten der Variable. Hier: 7 von beiden Seiten abziehen ergibt 3x = 15, dann durch 3 teilen ergibt x = 5.

Eine lineare Gleichung hat eine Variable, die nie potenziert wird, nie unter einer Quadratwurzel steht und nie im Nenner vorkommt. Das macht sie "linear": Würde man beide Seiten als Funktionen zeichnen, wären es Geraden. Beispiele: 3x + 7 = 22,5 - 2x = -1, 4(x + 3) = 20. Das Ziel ist immer dasselbe: x auf einer Seite des Gleichheitszeichens isolieren, mit Koeffizient 1.

Die Grundidee: Balance

Eine Gleichung sagt aus, dass zwei Dinge gleich sind. Solange du auf beiden Seiten genau dieselbe Operation ausführst, bleibt diese Aussage wahr. Addiere 5 auf der linken Seite, addiere 5 auf der rechten Seite, und die Gleichung bleibt im Gleichgewicht. Das ist die einzige Regel, die du wirklich brauchst.

Stell dir das Gleichheitszeichen als Mitte einer Waage vor. Was du auf eine Waagschale legst oder von ihr nimmst, musst du auch auf der anderen tun, sonst kippt sie. Nur auf einer Seite zu rechnen ist der häufigste Fehler beim Lösen linearer Gleichungen.

Die Standardform in zwei Schritten

Die meisten linearen Gleichungen sehen aus wie ax + b = c. Sie zu lösen erfordert immer zwei Schritte, in dieser Reihenfolge:

  1. Verschiebe die Konstante (b) auf die andere Seite, durch Addieren oder Subtrahieren auf beiden Seiten.
  2. Teile beide Seiten durch den Koeffizienten (a), um x zu isolieren.

Gelöstes Beispiel 1: einfache Zwei-Schritt-Gleichung

Löse 3x + 7 = 22.

  1. Ziehe 7 von beiden Seiten ab: 3x = 15.
  2. Teile durch 3: x = 5.
  3. Probe: 3(5) + 7 = 22. Richtig.

Gelöstes Beispiel 2: negativer Koeffizient

Löse -2x + 4 = 10.

  1. Ziehe 4 von beiden Seiten ab: -2x = 6.
  2. Teile durch -2: x = -3.
  3. Probe: -2(-3) + 4 = 10. Richtig.

Wenn die Variable auf beiden Seiten steht

Manche Gleichungen haben x auf beiden Seiten, wie 5x - 3 = 2x + 9. Der zusätzliche Schritt besteht darin, zuerst alle x-Terme auf eine Seite zu bringen.

  1. Ziehe 2x von beiden Seiten ab: 3x - 3 = 9.
  2. Addiere 3: 3x = 12.
  3. Teile durch 3: x = 4.

Wenn ein Term ausmultipliziert werden muss

Eine Gleichung wie 4(x + 3) = 20 hat eine Klammer, die einen ganzen Ausdruck multipliziert. Multipliziere zuerst aus:

  1. Die 4 ausmultiplizieren: 4x + 12 = 20.
  2. 12 subtrahieren: 4x = 8.
  3. Durch 4 teilen: x = 2.

Gleichungen mit Brüchen

Sind mehrere Brüche beteiligt, ist es meist schneller, sie alle auf einmal zu beseitigen, indem man jeden Term mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner multipliziert. Lösex/2 + 1/3 = x/6 + 2:

  1. Der kleinste gemeinsame Nenner von 2, 3 und 6 ist 6.
  2. Jeden Term mit 6 multiplizieren: 3x + 2 = x + 12.
  3. x subtrahieren: 2x + 2 = 12.
  4. 2 subtrahieren und durch 2 teilen: x = 5.

Keine Lösung und unendlich viele Lösungen

Nicht jede lineare Gleichung hat genau eine Antwort. Löse 2x + 3 = 2x + 7: Zieht man 2x von beiden Seiten ab, bleibt 3 = 7, was für kein x wahr ist. Diese Gleichung hat keine Lösung. Löse nun 2x + 3 = 2x + 3: Es bleibt3 = 3, immer wahr, also gibt es unendlich viele Lösungen.

Häufige Fehler

  • Nur auf einer Seite rechnen. Was du auf einer Seite machst, mach auch auf der anderen.
  • Einen Schritt zu früh aufhören. Nach dem Verschieben der Konstante wird das Teilen manchmal vergessen.
  • Nur den ersten Term ausmultiplizieren. Bei 4(x + 3) werden sowohl x als auch 3 mit 4 multipliziert.
  • Das Vorzeichen beim Verschieben vertauschen. -3 auf die andere Seite zu bringen bedeutet, 3 zu addieren, nicht zu subtrahieren.
  • Die Probe auslassen. Das Einsetzen der Antwort dauert Sekunden und findet fast jeden Fehler.

Selbst üben

Probiere den Mathe-Löser mit deiner eigenen Gleichung, um jeden Schritt zu sehen, oder geh zu Übungen zu linearen Gleichungen für unbegrenzt neue Aufgaben mit sofortigem Feedback.

Key takeaways

  • Eine lineare Gleichung läuft immer auf zwei Schritte hinaus: den Term mit der Variablen isolieren, dann durch seinen Koeffizienten teilen.
  • Was du auf einer Seite der Gleichung machst, musst du auch auf der anderen Seite machen.
  • Klammern zuerst ausmultiplizieren, bevor du gleichartige Terme zusammenfasst, und alle Variablen-Terme auf eine Seite bringen, bevor du isolierst.
  • Die Antwort durch Einsetzen zu prüfen dauert Sekunden und findet fast jeden Rechenfehler.
  • Dieselbe Balance-Regel funktioniert bei ganzen Zahlen, negativen Zahlen, Brüchen und Gleichungen mit x auf beiden Seiten.

Frequently asked questions

Was macht eine Gleichung linear?

Eine Gleichung ist linear, wenn ihre Variable nur in der ersten Potenz vorkommt. Kein Quadrat, keine Quadratwurzel der Variable, keine Variable im Nenner. 3x + 7 = 22 ist linear; x² + 7 = 22 nicht.

Was, wenn vor dem x keine Zahl steht?

Eine Variable ohne sichtbare Zahl davor hat den Koeffizienten 1. x + 5 = 12 ist dasselbe wie 1x + 5 = 12.

Kann eine lineare Gleichung mehr als eine Lösung haben?

Eine normale lineare Gleichung mit einer Variablen hat genau eine Lösung. Ausnahmen sind Gleichungen, die sich zu etwas immer Wahrem (unendlich viele Lösungen) oder immer Falschem (keine Lösung) vereinfachen.

Brauche ich bei Gleichungen mit Brüchen immer einen gemeinsamen Nenner?

Nicht immer. Du kannst Brüche gleich zu Beginn beseitigen, indem du jeden Term der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner multiplizierst.

Warum ist der Prüfschritt wichtig?

Die richtigen Schritte zu befolgen garantiert keine fehlerfreie Rechnung. Das Einsetzen der Antwort in die ursprüngliche Gleichung bestätigt, dass beide Seiten wirklich übereinstimmen.

Wie löst man 3x + 7 = 22 am schnellsten?

Ziehe 7 von beiden Seiten ab, um 3x = 15 zu erhalten, teile dann beide Seiten durch 3, um x = 5 zu erhalten.